अंकगणित भाग २

ल.सा.वि.आणि म.सा.वि.

 ल.सा.वि. (लघुत्तम साधारण विभाज्य) :-

·         ल.सा.वि. म्हणजे लघुत्तम साधारण विभाज्य संख्या (LCM) दिलेल्या संख्यानी ज्या लहांनात लहान संख्येला पूर्ण भाग जातो ती संख्या म्हणजे त्यांचा ल.सा.वि. होय 

·         ल.सा.वि. हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी मोठी संख्यांच असते. 

·         उदा. 12 व 18 चा ल.सा.वि. 36. 

      12 = 2×6 = 2×2×3 

         18 = 2×9 = 2×3×3  

                        = 2×2×3×3

म.सा.वि. (महत्तम साधारण विभाजक) :-

·         म.सा.वि. म्हणजे महत्तम साधारण विभाजक संख्या (HCM) दिलेल्या संख्यांना ज्या मोठयात मोठया संख्येने (विभाजकाने) भाग जातो ती संख्या अथवा तो विभाजक म्हणजे त्यांचा म.सा.वि. होय. 

·         म.सा.वि. हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी लहान संख्याच असते. 

·         उदा. 12 व 18 चा म.सा.वि. = 6
      12 = 2×2×3     

         18 = 2×3×3     

             = 2×3

             = 6

 

·         दोन संख्यांचा गुणाकार = ल.सा.वि. × म.सा.वि 

·         ल.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार / म.सा.वि. 

·         म.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार / ल.सा.वि. 

·         पहली संख्या = ल.सा.वि. × म.सा.वि. / दुसरी संख्या 

·         दुसरी संख्या = ल.सा.वि. × म.सा.वि. / पहिली संख्या 

·         दोन संख्यांतील असामाईक अवयवांचा गुणाकार = ल.सा.वि. / म.सा.वि.

·         दोन संख्यांपैकी लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असामाईक अवयव

·         दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = म.सा.वि. × मोठी असामाईक अवयव 

·         व्यवहारी अपूर्णांकांचा ल.सा.वि. = अंशांचा ल.सा.वि./ छेदांचा म.सा.वि.

उदा. 2/5, 4/10, 6/15     

यांचा ल.सा.वि. = 2, 4, 6 चा ल.सा.वि. / 5,10,15 चा म.सा.वि. = 12/5

 

नमूना पहिला –

दोन संख्यांना ल.सा.वि. 192 व म.सा.वि. 16 आहे. त्यापैकी एक संख्या 64 असल्यास दुसरी संख्या कोणती?

1.     80

2.     48

3.     32

4.     16

उत्तर : 48

क्लृप्ती :-

ल.सा.वि.×म.सा.वि./एक संख्या = दुसरी संख्या, या सूत्रानुसार 192×16/64 = 48

 

नमूना दूसरा –

दोन संख्यांचा गुणाकार 3174 असून त्यांचा म.सा.वि. 23 आहे. तर त्या संख्यांचा ल.सा.वि. किती?

1.     134

2.     128

3.     138

4.     118

उत्तर : 138

क्लृप्ती :-

दोन संख्यांच्या गुणाकार/म.सा.वि. = ल.सा.वि. = 3174/23 = 138

क्लृप्ती :-

दोन संख्यांचा गुणाकार/ल.सा.वि. =  म.सा.वि.

 

नमूना तिसरा –

दोन संख्यांचा म.सा.वि. 25 व ल.सा.वि. 350 आहे, तर त्यापैकी लहान संख्या कोणती ?

1.     45

2.     175

3.     35

4.     50

उत्तर : 50

क्लृप्ती :-

ल.सा.वि.×म.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार

मोठी संख्या = म.सा.वि. × मोठ्या असमाईक अवयव = 25×7 = 175

लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असमाईक अवयव = 25×2 = 50

सूत्र:-

ल.सा.वि./म.सा.वि.  = असामाईक अवयवांचा गुणाकार

:: 350/25 = 14 = 7×2

 

नमूना चौथा –

दोन संख्यांचा गुणाकार 270 व म.सा.वि. 3 आहे, तर त्यापैकी लहान संख्या कोणती?

1.     18

2.     15

3.     12

4.     24

उत्तर : 15

क्लृप्ती :-

गुणाकार./म.सा.वि.  = ल.सा.वि.  270/3  = 90

असमाईक अवयवांचा गुणाकार = ल.सा.वि./म.सा.वि. = 90/3 = 30 = 5×6

लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असामाईक अवयव यावरून लहान संख्या = 5×3 =15

 

नमूना पाचवा –

अशी तीन अंकी लहानात लहान संख्या कोणती, कि जिला 5,12 व 15 या संख्यांनी भागल्यास प्रत्येक वेळी 4 उरतात?

1.     120

2.     124

3.     240

4.     180

उत्तर : 124

स्पष्टीकरण :-

5, 12, 15 चा ल.सा.वि. = 60 ही दोन अंकी संख्या आहे.

म्हणून 60×2 = 120+4 = 124 ही तीन अंकी संख्या उत्तर येईल.

 

नमूना सहावा –

अशी लहानात लहान संख्या शोधून काढा, कि जिला 12 ने भागल्यास बाकी 5 उरते व 16 ने भागल्यास बाकी 9 उरते आणि 18 ने भागल्यास बाकी 11 उरते?

1.     149

2.     135

3.     137

4.     133

उत्तर : 137

स्पष्टीकरण : -

12, 16 व 18 यांचा ल.सा.वि. = 144

:: 144-7 = 137

[12-5 = 7, 16-9 =7, 18-11 = 7]

 

 

नमूना सातवा –

एका संख्येला 9 ने भागल्यास बाकी 8 उरते व 10 ने भागल्यास बाकी 9 उरते, तर त्या संख्येची दुप्पट किती?

1.     89

2.     180

3.     178

4.     144

उत्तर : 178

स्पष्टीकरण :-

9 व 10 चा ल.सा.वि. = 90

उदाहरणातील माहितीप्रमाणे  

9-8=10-9=1 यानुसार 90-1=89

:: संख्येची दुप्पट

सूत्र :-

अपूर्णाकांचा ल.सा.वि. = अंशांचा ल.सा.वि./छेदांचा म.सा.वि.

 

नमूना आठवा –

दोन संख्या अनुक्रमे 4x व 6x असून, त्यांचा म.सा.वि 16 आहे व ल.सा.वि. 96 आहे. तर x = किती ?

1.     16

2.     32

3.     8

4.     12

उत्तर : 8

स्पष्टीकरण :

दोन संख्यांचा गुणाकार = ल.सा.वि. × म.सा.वि.

:: 4x × 6x = 96×16

:: 24x2 = 96×16  x2 = 64

शेकडेवारी

1) कोणत्याही संख्येचे दिलेले टक्के काढताना प्रथम 1% (टक्का) अथवा 10% काढा. त्यानंतर पट पद्धतीने दिलेले टक्के तोंडी काढता येतात.

·         उदा. 500 चे 10% = 50 (10 टक्के काढताना एक शून्य कमी करा.) 

·         125 चे 10% = 12.5 अथवा एकक स्थानी शून्य नसल्यास एका स्थळानंतर डावीकडे दशांश चिन्ह धा. 

·         500 चे 30% = 150     

·         500 चे 10% = 50   

·         30% = 10%×3 

·         = 50×3 = 150 

·         500 चे 8% = 40 (संख्येच्या 1%काढताना शेवटचे दोन शून्य कमी करा अथवा शून्य नसल्यास डावीकडे दोन दशांश स्थळांवर दशांश चिन्ह धा.) 

·         500 ची 1% = 5 

·         :: 500 चे 8% = 40

2) दिलेल्या संख्येचे 12.5% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 1/8 ने गुणा.

·         उदा. 368 चे 12.5% = ? 

·         368×12.5/100

·         = 368×1/8= 46 

3) दिलेल्या संख्येचे 20% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 1/5 (0.2) ने गुणा.

·         उदा. 465 चे 20% = 93    
 

·         465×20/100

·         = 465×1/5 ने गुणा = 93 

4) दिलेल्या संख्येचे 25% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला ¼ (0.25) ने गुणा.

·         उदा. 232 चे 25% = 58 

·         232×25/100

·         = 232×1/4= 58 

5) दिलेल्या संख्येचे 37 1/2% (37.5) काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 3/8 ने गुणा.

·         उदा. 672 चे 37.5% = 252    
 

·         672×37.5/100 

·         = 672×3/8 

·         = 252 

6) दिलेल्या संख्येचे 50% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला ½ (0.5) ने गुणा.

·         उदा. 70 चे 50% = 35   
 

·         70×50/100 

·         = 70×1/2 

·         = 35 

7) दिलेल्या संख्येचे 62 ½% (62.5) काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 5/8 ने गुणा.

·         उदा. 400 चे 62.5% = 250  
   

·         400×62.5/100 

·         = 400×5/8

·         = 250 

8) दिलेल्या संख्येचे 75% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला ¾ ने गुणा.

·         उदा. 188 चे 75% = 141  
   

·         188×3/4 

·         = 141 

9) दिलेल्या संख्येचे 87 ½% (87.5) काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 7/8 ने गुणा.

·         उदा. 888 चे 87.5% = 777  
   

·         888 × 87.5/100

·         = 888×7/8 

·         = 777

10) दिलेल्या संख्येचे त्या संख्येएवढेच टक्के काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येचा वर्ग काढून डावीकडे दोन दशांश स्थळानंतर दशांश चिन्ह धा.

·         उदा. 25 चे 25% = 6.25

·         25 × 25/100 

·         = 625/100 

·         = 6.25

 नमूना पहिला –

उदा.

2400 पैकी 144= किती टक्के?

1.     8%

2.     6%

3.     5%

4.     4%

उत्तर : 6%

स्पष्टीकरण :-

टक्के (%) = 144×100/2400=144/24 = 6%

 नमूना दूसरा –

उदा.

X चे 7% = 126; तर X=?

1.     1600

2.     1800

3.     1500

4.     1400

उत्तर : 1800

स्पष्टीकरण :-

X × 7/100=126      

:: X=126×100/7=18×100 = 1800

 नमूना तिसरा –

उदा.

1500 चे 40% = X चे 8%;  :: X=?

1.     6000

2.     9000

3.     7500

4.     8500

उत्तर : 7500

स्पष्टीकरण :-

1500×40/100=X×8/100  

:: 1500×40=X=8

:: X=1500×40/8=1500×5=7500     किंवा

तोंडी काढताना     8 ची 5 पट = 40, यानुसार 1500 ची 5 पट = 7500 

 नमूना चौथा –

उदा.

1200 चे 8% = 400 चे किती टक्के?

1.     16%

2.     24%

3.     20%

4.     18%

उत्तर : 24%

स्पष्टीकरण :-

:: X=1200×8/100=400×X/100        
 :: 1200×8=400×X

:: X=1200×8/400=3×8=24%         
किंवा

तोंडी काढताना 400 ची 3 पट = 1200 आणि 8 ची 3 पट = 24%

 नमूना पाचवा –

उदा.

A ला B पेक्षा 10% गुण जास्त मुळाले, तर B ला A पेक्षा किती टक्के गुण कमी मिळाले ?

1.     10%

2.     9%

3.     9 1/11%

4.     11 1/11%

उत्तर : 9 1/11%

सूत्र :

B ला A पेक्षा टक्के कमी गुण = 100×टक्के/100+टक्के = 100×10/100+10= 1000/110 = 9 1/11%

 नमूना सहावा –

उदा.

A ला B पेक्षा 10% गुण कमी मिळाले, तर B ला A पेक्षा किती टक्के गुण जास्त मिळाले ?

1.     9 1/11%

2.     10%

3.     11 1/9%

4.     यापैकी नाही  

उत्तर : 11 1/9%

सूत्र :-

B ला A पेक्षा टक्के जास्त गुण = 100×टक्के/100-टक्के = 100×10/100-10 = 1000/90 = 100/9 = 11 1/9%

 नमूना सातवा –

उदा.

एका परिक्षेत 30% विधार्थी गणितात नापास झाले. 20% विधार्थी इंग्रजीत नापास झाले व 10% विधार्थी दोन्ही विषयांत नापास झाले, तर दोन विषयांच्या घेतलेल्या या परिक्षेत किती टक्के विधार्थी उत्तीर्ण झाले?

1.     40%

2.     30%

3.     70%

4.     60%

उत्तर : 60%

क्लृप्ती :-

परिक्षेत नापास झालेल्यांची टक्केवारी =                       (गणितात नापास) +     (इंग्रजीत नापास)  - (दोन्हीविषयांत नापास)

केवळ गणितात नापास विधार्थी %=30-10=20%                   30%     +        20%           -    10                   = 40%

इंग्रजीत नापास विधार्थी %=20-10=10%        

दोन्ही विषयात मिळून नापास %=10%                                       गणित नापास →  (30%)

:: परिक्षेत नापास विधार्थ्यांची टक्केवारी = 40%                             इंग्रजी नापास →   (10%)

:: उत्तीर्ण विधार्थ्यांची टक्केवारी = 60%                                     दोन्ही विषयात नापास → (20%)       

 नमूना आठवा –

उदा.

150 चा शेकडा 60 काढून येणार्‍या संख्येचा पुन्हा शेकडा 60 काढला; तर मुळची संख्या कितीने कमी झाली?

1.     96

2.     54

3.     90

4.     30

उत्तर : 96

स्पष्टीकरण :

150 चे 60% = 90     90 चे 60% = 54

:: 150-54 = 96

 नमूना नववा –

उदा.

एका परिक्षेत 70% विधार्थी इंग्रजीत उत्तीर्ण झाले, 65% विधार्थी गणितात उत्तीर्ण झाले, 25% विधार्थी दोन्ही विषयांत अनुत्तीर्ण झाले. जर 3000 विधार्थी दोन्ही विषयात उत्तीर्ण झाले असतील, तर त्या परीक्षेस एकूण किती विधार्थी बसले होते?

1.     7500

2.     5000

3.     6000

4.     8000

उत्तर : 5000

स्पष्टीकरण :-

                   इंग्रजी     गणित     दोन्ही विषयांत अनुत्तीर्ण     परिक्षेत एकूण अनुत्तीर्ण विधार्थी %=

उत्तीर्ण           70%      65%      25%                        30+35-25 = 40%    

अनुउत्तीर्ण       30%      35%                 

:: परिक्षेत एकूण अनुउत्तीर्ण विधार्थी = 40%

:: उत्तीर्ण विधार्थी = 100-40 = 60%

    :: 60% विधार्थी = 3000

    :: एकूण विधार्थी = 3000×100/60 = 5000

 नमूना दहावा –

उदा.

एका गावाची लोकसंख्या 12,000 आहे. ती दरवर्षी 10% ने वाढते, तर 3 वर्षांनंतर ती किती होईल ?

1.     15,297

2.     15,792

3.     15,972

4.     15,927

उत्तर : 15,972

वर्ष (n)    मुद्दल (P)    दर (R)    व्याज (I)    रास (A)

1    12,000    10%    1200    13,200

2    13,200    10%    1320    14,500

3    14,500    10%    1452    15,972 15,927

सूत्र :-

A=P×(1+r/100)n :: A=12,000×(11/10)3

= 12,000×1331/1000=1331×12=15,972

 नमूना अकरावा –

उदा.

एका गावची लोकसंख्या 3,630 आहे, ती दर 10 वर्षानी 10% ने वाढते; तर 20 वर्षापूर्वी त्या गावची लोकसंख्या किती असावी?

1.     2,500

2.     3,000

3.     3,300

4.     2,904

उत्तर : 3,000

क्लृप्ती :-

P= A/(1×r/100)n     ∷ P= 3630/((11/10)2 )=(3630/11)/10×11/10  

∷ 3,630×10/11×10/11=3,000

 नमूना बारावा -

उदा.

एका खोलीचे भाडे शे. 20 ने वाढविले. पुन्हा काही महिन्यांनंतर शे. 25 ने वाढविले, तर मूळ भाडयात शेकडा वाढ किती झाली?

1.     20%

2.     45%

3.     25%

4.     50%

उत्तर : 50%

स्पष्टीकरण :-

मूळ भाडे 100 मानू     20% वाढ = 120 वर पुन्हा 25% वाढ = 120 ×25/100=30

मूळ भाडयातील वाढ = 20+30 = 50%

नमूना तेरावा –

उदा.

एका पुस्तकाची किंमत शे. 20 ने कमी केल्यास त्याचा खप 25% ने वाढला. तर पूर्वीच्या उत्पन्नात शे. कितीने फरक पडला?

1.     20% कमी

2.     25% जास्त

3.     25% कमी

4.     फरक नाही

उत्तर : फरक नाही

स्पष्टीकरण :

100 प्रतींची 100 रु. किंमत मानू  100-20=80रु.   100 प्रती = 80 रु.

तर 125 प्रती = 125/100×80/1=100  आताचे उत्पन्न – पूर्वीचे उत्पन्न = फरक

= 100-100 = 0

 नमूना चौदावा –

उदा.

साखरेची किंमत शे. 60 वाढली. घरात साखर किती टक्के कमी वापरावी म्हणजे खर्चात वाढ होणार नाही?

1.     37.5%

2.     60%

3.     40%

4.     20%

उत्तर : 37.5%

सूत्र :

(100×टक्के )/(100+60 )=(100×60 )/(100+60 )=(100×60 )/160=6000/160=37.5%   

नमूना पंधरावा –

उदा.

3/5%  हे दशांश अपूर्णांकात कसे लिहाल?

1.     0.6

2.     0.006

3.     0.06

4.     60.0

उत्तर : 0.006

स्पष्टीकरण :

प्रथम व्यवहारी अपूर्णांकाचे दशांश अपूर्णांकात रूपांतर करा व नंतर 100 ने भागा.

अथवा

दोन स्थळांनंतर डावीकडे दशांश चिन्ह धा. 3/5%=0.6/100=0.006

 नमूना सोळावा –

उदा.

7/12  चे 6%=किती ?

1.     0.35

2.     0.035

3.     3.5

4.     0.0035

उत्तर : 0.035

 नमूना सतरावा –

उदा.

एका संख्या 12.5% नी वाढविल्यास 81 होते, तर ती संख्या कोणती?

1.     70

2.     72

3.     68.5

4.     64

उत्तर : 72

स्पष्टीकरण :-

ती संख्या X मानू,    

·         :: X+X चे 12.5% = x+1/8x=81

:: 9/8x= 81  यावरून x=81×8/9=72

दशांश अपूर्णांक

A) ज्या अपूर्णांकाचा छेद हा 10 किंवा 10 च्या घातांकात असतो. त्या अपूर्णांकाला दशांश अपूर्णांक म्हणतात.

उदाहरणार्थ :  8/10 = 0.8,  3/100 = 0.03  15/100 = 0.015

 

B) व्यवहारी अपूर्णांकांचे दशांश अपूर्णांकात रूपांतर करताना :

1) प्रथम छेद 10 किंवा 10 च्या घातांकात करा.

उदाहरणार्थ : 2/5 = 2×2/5×2 = 4/10 = 0.4, 3/25 = 3×4/25×4 = 12/100 = 0.12

 

2) छेदाच्या 1 वर जेवढे शून्य असतील, तेवढया स्थळानंतर अंशांच्या संख्येत डावीकडे दशांश चिन्ह धा.

उदाहरणार्थ : 5/100 = 0.05, 25/100 = 0.25  125/1000 = 0.125 प्रमाणे

 

C) दशांश अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना :

गुणांकातील एकूण स्थळे मोजून तेवढया स्थळानंतर गुणाकारात डावीकडे दशांश चिन्ह देणे.

उदाहारणार्थ :  15×7 = 105 :: 0.15×0.7 = 0.105 याचप्रमाणे 0.15×0.07 = 0.0105.

 

D) दशांश अपूर्णांकांचा भागाकार करताना :

1) भाजकाची जेवढी स्थळे भाज्यापेक्षा जास्त, भागाकारात तेवढे शून्य उजवीकडे देणे.

उदाहरणार्थ : 36 ÷ 4 = 9, :: 3.6 ÷ 0.04 = 90, 0.36 ÷ 0.0004 = 900

 

2) भाज्याची जेवढी दशांश स्थळे भाजकाच्या दशांश स्थळांपेक्षा जास्त तेवढया स्थळानंतर भागाकारात डावीकडे दशांश चिन्ह देणे.

उदाहरणार्थ : 75 ÷ 5 = 15  :: 0.75 ÷ 0.5 = 1.5.  0.0075 ÷ 0.05 = 0.15

गुणाकार :

दशांश अपूर्णांक संख्यांचा गुणाकार करताना गुणकांची एकूण दशांश स्थळे मोजा व गुणाकारात तेवढ्या स्थळानंतर डावीकडे दशांश चिन्ह धा.

उदा.

1.     9×8=72

2.     0.9×0.8=0.72

3.     0.9×8=7.2

4.     0.09×0.8= 0.072

5.     0.09×0.08=0.0072  

नमूना पहिला :

उदा.
5×0.5×0.05 = ?

1.     2.25

2.     12.5

3.     0.125

4.     0.0125

उत्तर : 0.125

क्लृप्ती -

गुणक संख्यांतील एकूण दशांश स्थळे मोजून येणार्याश गुणाकारात डावीकडे तेवढ्या दशांश स्थळानंतर दशांश चिन्ह देणे.

(5×5×5=125  ::5×0.5×0.05=0.125)

नमूना दूसरा :

उदा.
36÷4=9 ; तर 3.6÷0.04=?

1.     0.9

2.     9

3.     90

4.     0.09

उत्तर : 90

क्लृप्ती -

भाजकाची जेवढी दशांश स्थळे भज्यापेक्षा जास्त; तेवढे भागकारात उजवीकडे शून्य येतात.

3.6 ÷ 0.04 = 90

नमूना तिसरा :

उदा.
72÷9=8; तर 0.072÷0.9=?

1.     800

2.     0.8

3.     0.08

4.     80

उत्तर : 0.08

क्लृप्ती -

भाज्याची भाजकापेक्षा जेवढी दशांश स्थळे जास्त तेवढ्या जास्त स्थळानंतर डावीकडे भागाकारात दशांश चिन्ह येईल.

0.072÷0.9 भाज्याची 3 स्थळे व भाजकाचे 1 स्थळ आहे, त्यामुळे भाज्याची 2 स्थळे जास्त येतात.

::उत्तरात 2 स्थळानंतर टिंब डावीकडे देणे.

0.072÷0.9=0.08

व्यवहारी अपूर्णांक

1) व्यवहारी अपूर्णांकांत छेद म्हणजे वस्तूचे केलेले समान भाग आणि अंश म्हणजे त्यापैकी घेतलेले भाग.

उदाहरणार्थ : 2/5 मध्ये 2 हा अंश आणि 5 हा छेद आहे.

 

2) अंशाधिक अपूर्णांकात अंश हा छेदापेक्षा मोठा असतो, आणि अंशाधिक अपूर्णांकांची किंमत 1 पेक्षा मोठी असते.

उदाहरणार्थ : 7/5 = 1.4

 

3) छेदाधिक अपूर्णांकात छेद हा अंशापेक्षा मोठा असतो, आणि छेदाधिक अपूर्णांकाची किंमत 1 पेक्षा लहान असते.

उदाहरणार्थ : 3/5 =0.6

 

4) छेदाला व अंशाला एकाच संख्येने गुणल्यास वा भागल्यास येणारी संख्या त्या अपूर्णांकाचा सममूल्य अपूर्णांक येतो.

उदाहरणार्थ : 3/5 = 3×3/5×3 = 9/15 तसेच 25/35 = 25÷5/35÷5 =5/7

यात 3/5 व 9/15 या दोन्ही अपूर्णांकांची किंमत सारखीच (एकच) असते. त्याचप्रमाणे 25/35 व 5/7 यांची किंमत सममूल्य आहे.

 

5) व्यवहारी अपूर्णांकातील दिलेल्या धन अपूर्णांकाचे अंश समान असतील तर, ज्याचा अंश लहान तो अपूर्णांक लहान असतो.

उदाहरणार्थ : 1/3 > ¼ > 1/5

 

6) व्यवहारी अपूर्णांकातील दिलेल्या धन अपूर्णांकांचे छेद समान असतील तर, ज्याचा अंश लहान तो अपूर्णांक लहान असतो.

उदाहरणार्थ : 2/3 < 3/3 < 4/3 < 5/3

 

7) दिलेल्या छेदाधिक अपूर्णांकांतील अंश व छेद यांच्यात समान फरक असेल तर, ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक लहान असतो.

उदाहणार्थ : 2/3 < ¾ < 6/5

 

8) दिलेल्या अंशाधिक अपूर्णांकांतील अंश व छेद यांच्यात समान फरक असेल तर, ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो.

उदाहरणार्थ : 4/3 > 5/4 > 6/5

 

9) दिलेल्या अप्र्नांकांतील प्रत्येक अपूर्णांकाचा छेद हा अंशाच्या दुपटीपेक्षा एकाने कमी असेल तर, ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो.

उदाहरणार्थ : 3/5 > 4/7 > 5/9

 

10) दिलेल्या अपूर्णांकांतील प्रत्येक अपूर्णांकाचा छेद हा अंशाच्या दुपटीपेक्षा एकाने जास्त असेल तर, ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक लहान असतो.

उदाहरणार्थ : 3/7 < 4/9 < 5/11

 

11) अपूर्णांकांचा उतरता क्रम (Decreasing/descending Order) – लावताना प्रथम दिलेल्या अपूर्णांकांपैकी सर्वात मोठा अपूर्णांक, त्यानंतर क्रमाने लहान अपूर्णांक लिहिणे.

 

12) अपूर्णांकांचा चढता क्रम (Increasing/Ascending Order)- लावताना प्रथम दिलेल्या अपूर्णाकांपैकी सर्वात लहान अपूर्णांक, त्यानंतर मोठे अपूर्णांक लिहिणे.

 

पुढील व्यवहारी अपूर्णांकांचे दशांश अपूर्णांकांकातील रूपांतर तोंडपाठ पाहिजेच.

1) ½ = 0.5     

 

2) 1/3 = 0.33     

 

3) ¼ = 0.25     

 

4) 1/5 = 0.2

 

5) 2/3 = 0.66     

 

6) ¾ = 0.75     

 

7) 3/5 = 0.6     

 

8) 4/5 = 0.8

 

9) 1/8 = 0.125     

 

10) 3/8 = 0.375

 

11) 5/8 = 0.625

 

12) 7/8 = 0.875

 

नमूना पहिला –

उदा.

6/7,3/4,4/5,2/3  यापैकी सर्वात लहान अपूर्णांक कोणता?

1.     3/4

2.     2/3

3.     4/5

4.     6/7

उत्तर : 2/3

क्लृप्ती -

छेदाधिक अपूर्णाकात अंश व छेद यांच्यात 1 चा फरक अथवा समान फरक असेल तर; ज्यांचा अंश व छेद लहान त अपूर्णांक लहान आण ज्याचा अंश व छेद मोठा तो अपूर्णांक मोठा असतो. अंशाधिक अपूर्णांक असेल तर त्याच्या उलट नियम वापरा.

 

नमूना दूसरा –

उदा.

खालीलपैकी सर्वात लहान अपूर्णांक कोणता ?

1.     7/2

2.     16/5

3.     19/6

4.     22/7

उत्तर : 22/7

क्लृप्ती-

वरील अपूर्णांकाचे पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतर केल्यास प्रत्येकाचा 3 पूर्णाक येतो व बाकी अनुक्रमे 1/2,1/5,1/6,1/7 उरते. अंश समान असल्यास ज्याचा छेद मोठा तो अपूर्णांक लहान व ज्याचा छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो; या नियमानुसार सोडवा.

 

नमूना तिसरा-

उदा.

पुढीलपैकी सर्वात मोठा अपूर्णांक कोणता?

1.     5/8

2.     4/7

3.     9/16

4.     10/14

उत्तर : 10/14

ल्कृप्ती -

5/8 व 9/16 यात 5/8 मोठा आणि 4/7 व 10/14 यात 10/14 मोठा, म्हणून 5/8 व 10/14 मोठा कारण 5×14×<8×10

 

नमूना चौथा-

उदा.

¾, 2/3, 5/6,1/2,4/5 यांचा उतरता क्रम लावल्यास; बरोबर मधला अपूर्णांक कोणता?

1.     ½

2.     4/5

3.     ¾

4.     यापैकी नाही

उत्तर : ¾

नियम: छेदाधिक अपूर्णाकांत अंश व छेदात 1 चा फरक असून ज्याचा अंश व छेद मोठा तो अपूर्णांक मोठा असतो.

 

नमूना पाचवा –

उदा.

¼, 1/3, 3/5, 7/8, 5/9 यांचा उतरता क्रम लावल्यास,बरोबर मधला अपूर्णांक कोणता?

1.     1/3

2.     3/5

3.     7/8

4.     5/9

उत्तर : 5/9

नियम : दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर करून सोडवा

उदा. 1/3= 0.33, 3/5=0.6, 7/8=087, 5/9=0.55, ¼= 0.25

 

नमूना सहावा –

उदा.

पुढील अपूर्णांकांचा उतरता क्रम लावल्यास शेवटून दूसरा अपूर्णांक कोणता?

1.     5/7

2.     2/3

3.     5/8

4.     2/5

उत्तर : 5/8

 

नमूना सातवा –

उदा.

पुढील अपूर्णांक चढत्या क्रमाने लावल्यास सुरुवातीपासून दूसरा अपूर्णांक कोणता?

1.     2/5

2.     4/7

3.     7/11

4.     3/5

उत्तर : 4/7

क्लृप्ती-

2/5 <4/7 कारण 2×7<5×4 त्यानुसार 7/11 > 3/5, कारण 7×5>11×3.

:: 2/5 < 4/7 < 3/5 < 7/11 किंवा दशांश अपूर्णांकात रूपांतर करून घ्या.

 

नमूना आठवा-

उदा.

पुढील अपूर्णांक उतरत्या क्रमाने लावल्यास, बरोबर मधला अपूर्णांक कोणता?

1.     13/4

2.     12/5

3.     30/12

4.     21/9

उत्तर : 30/12

स्पष्टीकरण-

13/4= 3.25, 12/5= 2.40, 30/12= 2.50, 21/9= 2.33, 8/3= 2.66

 

नमूना नववा –

उदा.

4/5 च्या 2/7 मध्ये किती मिळविल्यास; बेरीज 3/7 येईल?

1.     2/5

2.     1/5

3.     6/35

4.     14/35

उत्तर : 1/5

क्लृप्ती -

4/5×2/7 = 8/35  3/7 – 8/35 = 15/35 – 8/35 = 7/35 = 1/5

 

नमूना दहावा-

उदा.

5/7 व 11/14 या अपूर्णाकांच्या दरम्यान असलेला खालीलपैकी कोणता अपूर्णांक असेल?

1.     6/7

2.     16/21

3.     4/7

4.     18/21

उत्तर : 16/21

ल्कृप्ती -

5/7 =10/14 व 11/14 यांच्या दरम्यान 16/21 येईल. पर्याय कट पद्धतीने सोडवावे. अथवा दरम्यानचा अपूर्णांक = 5+11/7+14= 16/21

 

नमूना अकरावा-

उदा.

खालीलपैकी सर्वात लहान अपूर्णांक कोणता?

1.     5/9

2.     3/5

3.     7/13

4.     9/17

उत्तर : 9/17

ल्कृप्ती -

दिलेल्या अपूर्णांकात प्रत्येक अपूर्णाकाचा छेद हा अंशाच्या दुपटीपेक्षा 1 ने कमी असेल तर ज्याचा अंश व छेद मोठा तो अपूर्णांक लहान आणि ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो.    

 

नमूना बारावा-

उदा.

3/7 मध्ये 3/7 किती वेळा मिळविल्यास, उत्तर 3 येईल?

1.     6

2.     14

3.     13

4.     7

उत्तर : 6

ल्कृप्ती -

(बेरजेचे उत्तर /अंश ) × छेद -1) वेळा

:: [(3/3×7)-1] = 6 वेळा

 

नमूना तेरावा –

उदा.

एका संख्येच्या 3/5 च्या 2/3 मध्ये 15 मिळवल्यास ती संख्या मिळते, तर ती संख्या कोणती?

1.     20

2.     25

3.     15

4.     45

उत्तर : 25

स्पष्टीकरण :

ती संख्या × मानू.

:: 3/5 X ×2/3+15= X

:: 2/5X +15= X,

:: X-2/5X=15

:: 3/5X=15,    यावरून    X=25

घन आणि घनमूळ

·         कोणत्याही संख्येचे घनमूळ काढताना संख्येतील एककस्थानचा अंक :-

·         1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0 असेल तर घनमूळाच्या एककस्थानी अनुक्रमे

·         1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 हेच अंक येतात.

·         म्हणजेच 2 असेल तर 8, 8 असेल तर 2, 7 असेल तर 3, आणि 3 असेल तर 7 हेच अंक येतात बाकीचे अंक तेच राहतात.

·         उदा. 3√389017 = 73 या संख्येतील एककस्थानी 7 हा अंक आहे, म्हणून घनमूळात एककस्थानी 3 अंक येईल नंतर एकक, दशक, शतक चे अंक सोडून उरलेल्या अंकांनी तयार होणार्‍या संख्येतून कोणत्या संख्येचे कोणत्या संख्येचे घनमूळ जाते हे पहावे.

·         उदा. 389 या संख्येतून 7 या संख्येचे घन जातो, म्हणून 3√389017 = 73

वर्ग आणि वर्गमूळ

·          (65)2 = 4225 संख्येच्या शेवटी जर 5 असेल तर वर्गसंख्येच्या शेवटी 25 येतात व दशक स्थानाचा अंक व त्या पुढचा अंक यांच्या गुणाकारांची संख्या लिहावी. 

·         उदा. (65)2 =4225 = (शेवटी 25 लिहून 6 च्या पुढचा अंक 7 घेऊन 6 × 7 = 42 लिहावे).

 दोन अंकी कोणत्याही संख्येचा वर्ग काढताना :-

उदा. (42)2 =(a+b)2 =a2 +2ab + b2 या सूत्राचा वापर करून कोणत्याही संख्येचा वर्ग काढता येतो.

 

(42)2

 

यात a=4,b=2

 

 (42)2 = (40+2)2=1600+2 (40×2)+4

 

=1600+160+4 = 1764   किंवा

 

22 = 4 एककस्थानी 4 लिहा.

 

2(4×2) = 16 चे 6 हातचा 1,

 

42 चा वर्ग 16   16+1 = 17, याप्रमाणे सूत्रानुसार

 

    :: √1764 = 42

 

 लक्षात ठेवा :

1) 1 व 9 च्या वर्गाच्या एककस्थानी 1 असते.

 

2) 3 व 8 च्या वर्गाच्या एककस्थानी 4 असते.

 

3) 3 व 7 च्या वर्गाच्या एककस्थानी 9 असते.

 

4) 4 व 6 च्या वर्गाच्या एककस्थानी 6 असते.

 

5) 5 च्या वर्गाच्या एकक स्थानी 5 असते.

 

·         उदा.√5329 =73 या उदाहरणात एककस्थानी 9 हा अंक आहे. म्हणून वर्ग मुळात 3 किंवा 7 हे अंक येतील. 

·         53 ही संख्या 7 च्या वर्गापेक्षा मोठी आहे. म्हणून वर्गमूळ 73 किंवा 79 असले पाहिजे. 

·         परंतु 70 चा वर्ग = 4900 व 80 चा वर्ग = 6400 आहे. 5329 ही संख्या 4900 ला जवळची, म्हणून 73 हे वर्गमूळ किंवा (75)2= 5625 यापेक्षा 5329 हे लहान आहे. 

·         म्हणून √5329 = 73

नमूना पहिला –

उदा.

खालीलपैकी पूर्ण वर्ग संख्या कोणती?

1.     0.196

2.     19.6

3.     1.96

4.     0.00196

उत्तर : 1.96

ल्कृप्ती :-

पूर्ण वर्गासाठी अपूर्णांकातील स्थळांचे स्थान सम पाहिजे.

 

नमूना दूसरा-

उदा.

खालीलपैकी कोणती संख्या पूर्ण वर्ग असू शकेल ?

**304

*50

7*38

*765

ल्कृप्ती :-

कोणत्याही वर्ग संख्येच्या एकक स्थानी 1,4,5,6,9,0, हे अंक येतात व संख्येच्या एकक स्थानी 5 असेल. तर संख्येचा दशकस्थानी 2 अंक येतो व संख्येच्या एकेक स्थानी 0 असेल; तर संख्येत शेवटी 2 च्या पटीत शून्य येतात.

 

नमूना तिसरा –

उदा.

√(26)2-(10)2 =?

1.     4

2.     16

3.     24

4.     48

उत्तर : 24

ल्कृप्ती :-

a2-b2 = (a+b)(a-b) √(26+10)×(26-10)

= √36×16 = 6×4 = 24

 

नमूना चौथा –

उदा.

81×64=5184, ::√5184=?

1.     62

2.     72

3.     68

4.     78

उत्तर : 72

सूत्र :-

√a2 × b2 = a×b  यासूत्राचा वापर √5184 = √81×64

= √92 × 82 = 9×8

= 72

 

नमूना पाचवा –

उदा.

√0.0289 =?

1.     1.7

2.     0.17

3.     17

4.     0.017

उत्तर : 0.17

नियम- वर्गमुळात दशांशस्थळे निम्मी होतात

:: √289=17

:: √2.89=1.7  आणि :: √0.0289=0.17

:: √0.000289=0.017

 

नमूना सहावा-

उदा.

√1.44/x=0.1;  :: x=?

1.     1.44

2.     12

3.     144

4.     14.4

उत्तर : 144

स्पष्टीकरण :-

√1.44/x

=0.1 1.44/x

=(0.1)2 1.44/x

=(0.01)    

:: x= 1.44/0.01=144  

 

नमूना सातवा –

उदा.  

√21+√10+√36=?

1.     6

2.     2

3.     5

4.     7

उत्तर : 5

स्पष्टीकरण :-

√21+√10+√36

= √21+√10+6

=√21+√16

= √21+4

= √25

=5

सरासरी

·         N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या 

·         क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते. 

·         उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14 

·         संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी 
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2 

·         उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13 

·         1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10 

·         N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2

·         उदा.

·         1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810

·         (31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)

नमूना पहिला –

उदा.

चार क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 35 आहे, तर त्यापैकी सर्वात लहान संख्या कोणती?

1.     32

2.     30

3.     34

4.     28

उत्तर : 32

क्लृप्ती :-

सरासरी संख्या ही क्रमवार संख्यांच्या मधली संख्या असते.

32, 34, [35], 36, 38

नियम –

क्रमश: असलेल्या अंकांची सरासरी = (पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ 2

वरील सूत्रानुसार 1+20/2 = 10.5,  1+10/2 = 5.5  

यावरून (10.5-5.5) = 5

 

नमूना दूसरा –

उदा.

क्रमश: 1 ते 100 अंकांची बेरीज किती?

1.     5050

2.     10050

3.     10100

4.     2525

उत्तर : 5050

क्लृप्ती :

क्रमश: संख्यांची बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या = 1+100/2 ×100 किंवा

= 101×100/2 = 101×50 = 5050  

 

नमूना तिसरा-

उदा.

35, 39, 45, 36, आणि 4* या दोन अंकी संख्यांची सरासरी 39 आहे; तर शेवटच्या संख्येतील एकक स्थानचा * च्या जागे वरील अंक कोणता?

1.     3

2.     5

3.     0

4.     7

उत्तर : 0

क्लृप्ती :  

सरासरी = 39 [मधली संख्या  (35 36 39 45 4*)]

एकूण = 39×5 = 195  

एकक स्थानी 5 येण्यास 5+9+5+6+* = 25 = 0 = 25    

0+5 = 5     

:: * = 0

 

नमूना चौथा –

उदा.

क्रमश: पाच विषम संख्यांची सरासरी 37 आहे. त्यापुढील 5 विषम संख्यांची सरासरी 47 आहे; तर त्या दहाही संख्याची सरासरी किती?

1.     44

2.     43

3.     42

4.     40

उत्तर : 42

क्लृप्ती :

एकूण संख्यांची सरासरी = सरसरींची बेरीज / एकूण संख्या (N) 37+47/2 = 42

 

नमूना पाचवा –

उदा.

एका नावेत सरासरी 22 कि.ग्रॅ. वजनाची 25 मुले बसली. नावाड्यासह सर्वाचे सरासरी वजन 24 कि.ग्रॅ. झाले तर नावाड्याचे वजन किती?

1.     74 कि.ग्रॅ.

2.     71 कि.ग्रॅ.

3.     75 कि.ग्रॅ.

4.     100 कि.ग्रॅ.

उत्तर : 74 कि.ग्रॅ.

नावाड्याचे वजन = (सरासरीतील फरक × विधार्थ्यांची संख्या) + नवीन सरासरी

क्लृप्ती :

सरसरीतील फरक = 24 -22   2×25.    

नावाड्याचे वजन = 50+24 = 74

 

नमूना सहावा –

उदा.

एका वर्गातील सर्व मुलांच्या वयांची सरासरी 15 वर्षे आहे. त्यापैकी 15 मुलांच्या वयांची सरासरी 12 वर्षे आहे व उरलेल्या मुलांची सरासरी 16 वर्षे आहे, तर त्या वर्गात एकूण मुले किती?

1.     60

2.     45

3.     40

4.     50

उत्तर : 60

स्पष्टीकरण :-

15 मुलांच्या वयांची सरासरी एकूण मुलांच्या सरासरी पेक्षा 3 ने कमी व उरलेल्या मुलांच्या वयाची सरासरी 1 ने जास्त आहे. एकूण भरून काढावयाची वर्षे = 3×15 विधार्थी = 45 वर्षे

उरलेल्या विधार्थ्यांपैकी 1 विधार्थी 1 वर्ष भरून काढतो.

उरलेले विधार्थी = 1×45 = 45 विधार्थी

:: एकूण विधार्थी = 45+15 = 60 विधार्थी

 

नमूना सातवा –

उदा.

एका दुकानदाराची 30 दिवसांची सरासरी विक्री 155 रु. आहे पहिल्या 15 दिवसांची सरासरी विक्री 190 रु. असल्यास; नंतरच्या 15 दिवसांची एकूण विक्री किती?

1.     285

2.     2375

3.     1800

4.     1950

उत्तर : 1800

क्लृप्ती : -

(155 – सरसरीतील फरक)×15

= (155-35)×15

= 120×15

= 1800

 

नमूना आठवा –

उदा.

ताशी सरासरी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी निर्धारित ठिकाणी निर्धारित वेळेत पोहचते. जर ती ताशी सरासरी 50 कि.मी. वेगाने गेल्यास ती निर्धारित वेळेपेक्षा 30 मिनिटे उशीरा पोहचते. तर तिने कापावयाचे एकूण अंतर किती?

1.     300 कि.मी.

2.     150 कि.मी.

3.     450 कि.मी.

4.     यापैकी नाही

उत्तर : 150 कि.मी.

स्पष्टीकरण :-

एकूण अंतर x मानू

∷x/50-x/60=30/60    

∶:(6x-5x)/300=1/2     

x= 300/2

=150 कि.मी.

संख्या व संख्यांचे प्रकार

Must Read (नक्की वाचा):

संख्यामाला भाग 7

समसंख्या :

·         ज्या संख्येला 2 ने पूर्ण भाग जातो, त्या संख्येला सम संख्या म्हणतात. 

विषमसंख्या :

·         ज्या संख्येला 2 ने पूर्ण भाग जात नाही, त्या संख्येला विषमसंख्या म्हणतात. 

·         विषम संख्येच्या एकक स्थानी 1, 3, 5, 7, 9 हे अंक येतात.

संख्यांचे प्राथमिक क्रियाविषयक नियम :

1.     सम संख्या + सम संख्या = सम संख्या 

2.     सम संख्या + विषम संख्या = विषम संख्या 

3.     विषम संख्या – विषम संख्या = सम संख्या 

4.     सम संख्या x सम संख्या = सम संख्या 

5.     विषम संख्या x विषम संख्या = विषम संख्या 

6.     सम संख्या – सम संख्या = सम संख्या 

7.     सम संख्या – विषम संख्या = विषम संख्या 

8.     विषम संख्या + विषम संख्या = सम संख्या 

9.     सम संख्या x विषम संख्या = सम संख्या 

मूळ संख्या :

·         ज्या संख्येस फक्त त्याच संख्येने किंवा 1 नेच पूर्ण भाग जातो, त्या संख्येला मूळ संख्या म्हणतात. 

·         उदा. 2, 3, 5, 7, 11, 13 इत्यादी. 

·         (फक्त 2 ही समसंख्या मूळसंख्या आहे. बाकी सर्व मूळसंख्या ह्या विषम संख्या आहेत) 1 ते 100 संख्यांचा दरम्यान एकूण 25 मूळ संख्या आहेत, त्या खाली दिल्या आहेत. 

जोडमुळ संख्या :

·         ज्या दोन मूळ संख्यात केवळ 2 च फरक असतो, अशा 1 ते 100 मध्ये एकूण आठ जोडमुळ संख्यांच्या जोडया आहेत. 

·         उदा. 3-5, 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, 41-43, 59-61, 71-73. 

संयुक्त संख्या :

·         मूळ संख्या नसलेल्या नैसर्गिक संख्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात. 

उदा. 4,6,8,9,12 इ. 

अंकांची स्थानिक किंमत :

A. संख्येतील कोणत्याही अंकाची स्थानिक किंमत काढताना त्या अंकापुढे जेवढे अंक असतील तेवढे शून्य त्या अंकापुढे देतात.

 

उदा. 45123 या संख्येतील 5 ची स्थानिक किंमत 5000, तर 2 ची स्थानिक किंमत 20 होय.

 

B. एक अंकी एकूण संख्या 9 आहेत. तर दोन अंकी 90, तीन अंकी 900 आणि चार अंकी एकूण संख्या 9000 आहेत.

 

C. लहानात लहान – एक अंकी संख्या 1 आहे, तर दोन अंकी संख्या 10, तीन अंकी संख्या 100 आहे.

याप्रमाणे 0 वाढवीत जाणे.

 

D. मोठयात मोठी – एक अंकी संख्या 9, दोन अंकी संख्या 99, तीन अंकी संख्या 999 आहे. पुढे याचप्रमाणे 9 वाढवीत जाणे.

 

E. कोणत्याही संख्येला 0 ने गुणले असता उत्तर 0 येते.

 

F. 0 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांत –

 

i) 2 पासून 9 पर्यंतचे अंक प्रत्येकी 20 वेळा येतात.

 

ii) 1 हा अंक 21 वेळा येतो

 

iii) 0 हा अंक 11 वेळा येतो.

 

G. 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांत –

 

अ. 2 पासून 9 पर्यंतचे अंक असलेल्या एकूण संख्या प्रत्येकी 19 येतात.

 

ब. दोन अंकी संख्यात 1 ते 9 या अंकाच्या प्रत्येकी 18 संख्या असतात.

 

त्रिकोणी संख्या :

·         दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकाराच्या निमपटीस त्रिकोणी संख्या म्हणतात.  

·         उदा : 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91, इत्यादी 

·         त्रिकोणी संख्या = n x(n+1)/2 या सूत्रात n = नैसर्गिक संख्या (1,2,3,4____)

दोन संख्यांची बेरीज :

1) दोन अंकी दोन संख्यांची बेरीज 19 पेक्षा मोठी व 199 पेक्षा लहान असते.

 

कारण 10 + 10 = 20 आणि 99+99 = 198

 

2) तीन अंकी दोन संख्यांची बेरीज 199 पेक्षा मोठी आणि 1999 पेक्षा लहान असते.

 

3) चार अंकी दोन संख्यांची बेरीज 1999 पेक्षा मोठी आणि 19999 पेक्षा लहान असते.

 

दोन संख्यांचा गुणाकार :

1) दोन अंकी दोन संख्यांचा गुणाकार 3 अंकी अथवा 4 अंकी येतो. 30 च्या आतील दोन संख्याचा गुणाकार तीन अंकी येतो व 30 च्या पुढील संख्यांचा     गुणाकार चार अंकी येतो.

 

2) तीन अंकी दोन संख्यांचा गुणाकार 5 अंकी अथवा 6 अंकी येतो. 300 च्या आतील दोन संख्यांचा गुणाकार 5 अंकी येतो व 300 च्या पुढील अंकांचा गुणाकार सहा अंकी येतो.

 

3) तीन अंकी संख्या व दोन अंकी संख्या यांचा गुणाकार 5 अंकी अथवा 4 अंकी येतो.

 

300 च्या आतील तीन अंकी 2 संख्यांचा गुणाकार 5 अंकी येतो.

 

उदा : 3 x 3 = 9  300 x 300 = 90000

 

एकक स्थानच्या अंकांचा गुणाकार = 8 x 3 = 24

 

एकक स्थानी 4 असलेली पाच अंकी संख्या = 39974

विभाजतेच्या कसोट्या :

2 ची कसोटी :
- ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 2, 4, 6, 8 अशा संख्या असतात.
- उदा. 42, 52 68, 86, 258, 1008 इ.

3 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला तीनने भाग जातो, त्या संख्येला तीनने भाग जातो.
- उदा. 57260322, 5+7+2+6+0+3+2+2=27
- संख्येची बेरीज 27 आणि तिला तीनने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला तीनने भाग जातो.

4 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांना चार ने भाग जातो. त्या संख्येला चारने भाग जातो.
- उदा. 3568912
- शेवटचे दोन अंक 12 आणि त्याला चारने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला चारने भाग जातो.

5 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 किवा 5 असेल, त्या संख्येला पाचने भाग जातो.
- उदा. 3725480, 58395, 5327255 इ.

6 ची कसोटी :
ज्या संखेळा 2 आणि 3 ने भाग जातो त्या संख्येला 6 ने पण भाग जातो.

9 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला नऊने भाग जातो, त्या संख्येला नऊने भाग जातो.
- उदा. 57260322, 5+7+2+6+0+3+2+2=27
- संख्येची बेरीज 27 आणि तिला नऊने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला नऊने भाग जातो.

10 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 असतो त्या संख्येला 10 ने भाग जातो.
- उदा. 100, 60, 5640, 57480, 354748, 3450 इ.

11 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येतील फरक 0 किवा ती संख्या 11 च्या पटीतील असेल तर त्या संख्येस 11 ने भाग जातो.
- उदा. 956241 1+2+5=8 & 9+6+4=19 दोघातील फरक 11 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जातो.
- 72984 4+9+7=20 & 8+2=10 दोघांतील फरक -10 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जात नाही.
- 5984 4+9=13 & 5+8=13 दोघांतील फरक 0 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जातो.

12 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येला 3 ने आणि 4 ने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला 12 ने पूर्ण भाग जातो.

15 ची कसोतो : 
- ज्या संख्येला 5 आणि 3 ने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला 15 ने पूर्ण भाग जातो.

16 ची कसोटी : 
- ज्या संखेच्या शेवटच्या चार अंकांना 16 ने भाग गेल्यास त्या संख्येला पण 16 ने भाग जातो.

18 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येला 2 आणि 9 ने भाग जातो त्या संख्येला 18 ने भाग जातो.

उदाहरणे :
1) 2 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती? 
1. 3721
2. 47953 
3. 72142
4. 68325
उत्तर : 72142
नियम: संख्येतील एकक स्थानचा अंक सम असल्यास 2 ने नि:शेष भाग जातो.

2) 3 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 37241
2. 571922
3. 7843
4. 64236
उत्तर : 64236
नियम: 
संख्येतील अंकांच्या बेरजेस 3 ने पूर्ण भाग गेल्यास
6+4+2+3+6=21÷3 = 7

3) 5 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 56824
2. 9876
3. 7214
4. 7485
उत्तर : 7485
नियम: संख्येच्या एककस्थानी 0 किंवा 5 असल्यास 5 ने नि:शेष भाग जातो.

4) 6 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 3472
2. 5634
3. 9724
4. 6524
उत्तर : 5634

5) 9 ने नि:शेष भाग जाणारी खालील पैकी संख्या कोणती?
1. 12643 
2. 85521
3. 75636
4. 54829
उत्तर : 75636

 (ब) संख्यांचे विभाजक

नमूना पहिला –
1) 60 या संख्येच्या एकूण विभाजकांची संख्या किती?
1. 10
2. 12
3. 14
4. 8
उत्तर : 12
स्पष्टीकरण :-
कोणत्याही सम संख्येचे विभाजक 1,2 व ती संख्या असतेच.
60×1, 30×2, 20×3, 15×4, 12×5, 10×6 
:: 6×2 = 12

नमूना दूसरा –
1) 36 ही संख्या दोन पूर्ण संख्यांचा गुणाकाराच्या रूपात जास्तीत जास्त किती प्रकारे (वेळा) लिहिता येईल?
1. 4
2. 6
3. 5
4. 8
उत्तर : 5
स्पष्टीकरण : 
1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6 म्हणजेच एकूण 5 वेळा लिहिता येईल.